高中高二数学知识点

2023.04.04

    在掌握的基础上，做专项训练，按层次补缺和提高。我们可以自己建立一本错题集，将在练习中做错的题目和尚未弄懂的题目及时记录下来，逐一解决，形成巩固。以下是小编给大家整理的高中高二数学知识点，希望能助你一臂之力!
    高中高二数学知识点1
    1.求函数的单调性：
    利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。
    利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
    反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，
    (1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
    (2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
    (3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。
    2.求函数的极值：
    设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。
    可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
    (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：
    (4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。
    3.求函数的值与最小值：
    如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的值。函数在定义域内的极值不一定，但在定义域内的最值是的。
    求函数f(x)在区间[a,b]上的值和最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;
    (2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的值与最小值。
    4.解决不等式的有关问题：
    (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
    f(x)(xA)的值域是[a,b]时，
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0;
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。
    f(x)(xA)的值域是(a,b)时，
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。
    (2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。
    5.导数在实际生活中的应用：
    实际生活求解(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
    高中高二数学知识点2
    1.定义法：
    判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可。
    2.转换法：
    当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
    3.集合法
    在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
    若A?B，则p是q的充分条件。
    若A?B，则p是q的必要条件。
    若A=B，则p是q的充要条件。
    若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。
    高中高二数学知识点3
    极值的定义：
    (1)极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
    (2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
    极值的性质：
    (1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内或最小;
    (2)函数的极值不是的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;
    (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值;
    (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
    求函数f(x)的极值的步骤：
    (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x);
    (2)求方程f′(x)=0的根;
    (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值。