证明三角形重心判定性质

    重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。下面小编给大家带来证明三角形重心判定性质，希望能帮助到大家!
    证明三角形重心判定定理
    例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
    求证：EG=1/2CG
    证明：过E作EH∥BF交AC于H。
    ∵AE=BE，EH//BF
    ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
    又∵ AF=CF
    ∴HF=1/2CF
    ∴HF:CF=1/2
    ∵EH∥BF
    ∴EG:CG=HF:CF=1/2
    ∴EG=1/2CG
    方法二 连接EF
    利用三角形相似
    求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC
    利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC
    证明三角形重心判定性质
    证明方法：
    在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
    OA'=1/3AA'
    OB'=1/3BB'
    OC'=1/3CC'
    过O，A分别作a边上高OH'，AH
    可知OH'=1/3AH
    则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
    同理可证S△AOC=1/3S△ABC
    S△AOB=1/3S△ABC
    所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
    在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF
    根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
    =a+ xBF=a+ x(AF-AB)
    = a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b
    向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
    根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
    =b+ yCD=b+y(AD-AC)
    = b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
    所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b
    则1-x= y/2， x/2=1-y，
    解得x=2/3,y=2/3.
    向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD
    即BO：OF=CO：OD=2。
    ∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b
    又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
    证明三角形重心判定方法
    已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
    求证：F为AB中点. 三角形重心
    证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
    1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
    2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
    4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,
    (Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标(Z1+Z2+Z3)/3
    5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证。
    6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。