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标题 人教版高中数学必修一知识点规纳数学公式
范文
    高一必修一的数学是高中数学的开始，如果开头开不好，那么高中三年的数学基本就很难学好了。小编整理了相关资料，希望能帮助到您。
     
    一、集合有关概念
    1. 集合的含义
    2. 集合的中元素的三个特性：
    (1) 元素的确定性,
    (2) 元素的互异性,
    (3) 元素的无序性,
    3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
    (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
    (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
    ? 注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N
    正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
    1)列举法：{a,b,c……}
    2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x?R|x-3>2} ,{x| x-3>2}
    3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
    4) Venn图:
    4、集合的分类：
    (1) 有限集 含有有限个元素的集合
    (2) 无限集 含有无限个元素的集合
    (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
    二、集合间的基本关系
    1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
    2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
    实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
    即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
    ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
    ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
    ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
    3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
    规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
    ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，即
    CSA= 韦恩图示 性质 A A=A
    A Φ=Φ
    A B=B A
    A B A
    A B B
    A A=A
    A Φ=A
    A B=B A
    A B A
    A B B
    (CuA) (CuB)
    = Cu (A B)
    (CuA) (CuB)
    = Cu(A B)
    A (CuA)=U
    A (CuA)= Φ.
    例题：
    1.下列四组对象，能构成集合的是 ( )
    A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
    2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
    3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
    4.设集合A= ，B= ，若A B，则的取值范围是
    5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
    6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
    7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
    二、函数的有关概念
    1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：
    1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
    (1)分式的分母不等于零;
    (2)偶次方根的被开方数不小于零;
    (3)对数式的真数必须大于零;
    (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
    (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
    (6)指数为零底不可以等于零，
    (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
    ? 相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
    (见课本21页相关例2)
    2.值域 : 先考虑其定义域
    (1)观察法
    (2)配方法
    (3)代换法
    3. 函数图象知识归纳
    (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
    (2) 画法
    A、描点法：
    B、图象变换法常用变换方法有三种
    1) 平移变换
    2) 伸缩变换
    3) 对称变换
    4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.
    5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B
    6.分段函数
    (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
    (2)各部分的自变量的取值情况.
    (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
    二.函数的性质
    1.函数的单调性(局部性质)
    (1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
    如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
    注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
    (3).函数单调区间与单调性的判定方法
    (A) 定义法：
    ○1 任取x1，x2∈D，且x1
    ○2 作差f(x1)-f(x2);
    ○3 变形(通常是因式分解和配方);
    ○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
    ○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
    (B)图象法(从图象上看升降)
    (C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
    注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
    8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
    ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
    ○2确定f(-x)与f(x)的关系;
    ○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.
    (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
    (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
    9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
    (2)求函数的解析式的主要方法有：
    1) 凑配法
    2) 待定系数法
    3) 换元法
    4) 消参法
    10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
    ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
    ○2 利用图象求函数的最大(小)值
    ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题：
    1.求下列函数的定义域：⑴ ⑵
    2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
    3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
    4.函数 ，若，则=
    6.已知函数，求函数，的解析式
    7.已知函数满足，则= 。
    8.设是R上的奇函数，且当时, ,则当时 =
    在R上的解析式为
    9.求下列函数的单调区间：
    ⑴ (2)
    10.判断函数的单调性并证明你的结论.
    11.设函数判断它的奇偶性并且求证：.
    三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
    倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
    半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
    积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
    2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
    -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
    和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
    cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
    tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
    ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
    -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin
    集合与函数概念一,集合有关概念
    1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
    2,集合的中元素的三个特性:
    1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
    (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
    (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
    (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
    3,集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
    1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
    2.集合的表示方法:列举法与描述法.
    注意啊:常用数集及其记法:
    非负整数集(即自然数集) 记作:n
    正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r
    关于"属于"的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a 记作a∈a ,相反,a不属于集合a 记作 a(a
    列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
    描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
    ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
    ②数学式子描述法:例:不等式x-3]2的解集是{x(r| x-3]2}或{x| x-3]2}
    4,集合的分类:
    1.有限集含有有限个元素的集合
    2.无限集含有无限个元素的集合
    3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
    二,集合间的基本关系
    1."包含"关系—子集注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合.
    反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
    2."相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
    实例:设a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"
    结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b
    ①任何一个集合是它本身的子集.a(a
    ②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
    ③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
    ④如果a(b 同时 b(a 那么a=b
    3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
    规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
    三,集合的运算
    1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.
    记作a∩b(读作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.
    2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x∈b}.
    3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
    4,全集与补集
    (1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
    记作: csa 即 csa ={x (x(s且 x(a}
    (2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.
    (3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
    数学必修1
    1. 集合　　(1)集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。　　(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。　　(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
    2. 函数概念与基本初等函数I
    　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
    倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
    半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
    积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
    2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
    -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
    和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
    cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
    tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
    ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
    -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin
    集合与函数概念一,集合有关概念
    1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
    2,集合的中元素的三个特性:
    1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
    (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
    (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
    (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
    3,集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
    1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
    2.集合的表示方法:列举法与描述法.
    注意啊:常用数集及其记法:
    非负整数集(即自然数集) 记作:n
    正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r
    关于"属于"的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a 记作a∈a ,相反,a不属于集合a 记作 a(a
    列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
    描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
    ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
    ②数学式子描述法:例:不等式x-3]2的解集是{x(r| x-3]2}或{x| x-3]2}
    4,集合的分类:
    1.有限集含有有限个元素的集合
    2.无限集含有无限个元素的集合
    3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
    二,集合间的基本关系
    1."包含"关系—子集注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合.
    反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
    2."相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
    实例:设a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"
    结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b
    ①任何一个集合是它本身的子集.a(a
    ②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
    ③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
    ④如果a(b 同时 b(a 那么a=b
    3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
    规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
    三,集合的运算
    1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.
    记作a∩b(读作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.
    2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x∈b}.
    3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a,a∪b = b∪a.
    4,全集与补集
    (1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
    记作: csa 即 csa ={x (x(s且 x(a}
    (2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.
    (3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
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更新时间：2025/5/19 1:57:08