高一数学数列知识点


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    高一数学数列知识点
    1.数列的函数理解:
    ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。
    2.通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式(注:通项公式不)。
    数列通项公式的特点:
    (1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不。
    (2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。
    3.递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
    数列递推公式特点:
    (1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不。
    (2)有些数列没有递推公式。
    有递推公式不一定有通项公式。
    注:数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。
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    1.等差数列通项公式
    an=a1+(n-1)d
    n=1时a1=S1
    n≥2时an=Sn-Sn-1
    an=kn+b(k,b为常数)推导过程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b则得到an=kn+b
    2.等差中项
    由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
    有关系:A=(a+b)÷2
    3.前n项和
    倒序相加法推导前n项和公式:
    Sn=a1+a2+a3+·····+an
    =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
    Sn=an+an-1+an-2+······+a1
    =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②
    由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)
    ∴Sn=n(a1+an)÷2
    等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:
    Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
    Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
    亦可得
    a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n
    an=2sn÷n-a1
    有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
    4.等差数列性质
    一、任意两项am,an的关系为:
    an=am+(n-m)d
    它可以看作等差数列广义的通项公式。
    二、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
    a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N
    三、若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
    四、对任意的k∈N,有
    Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列。
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    1.数列的定义
    按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项.
    (1)从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是同一数列,例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不同的数列.
    (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,在同一数列中可以出现多个相同的数字,如:-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列:-1,1,-1,1,….
    (4)数列的项与它的项数是不同的,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.
    (5)次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是一个相同的数列,显然数列与数集有本质的区别.如:2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.
    2.数列的分类
    (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类,分为有穷数列和无穷数列.在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出,例如数列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有穷数列,如果把数列写成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示无穷数列.
    (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类:递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.
    3.数列的通项公式
    数列是按一定次序排列的一列数,其内涵的本质属性是确定这一列数的规律,这个规律通常是用式子f(n)来表示的,
    这两个通项公式形式上虽然不同,但表示同一个数列,正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样,也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上,又不一定是的,仅仅知道一个数列前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的,通项公式更非.如:数列1,2,3,4,…,
    由公式写出的后续项就不一样了,因此,通项公式的归纳不仅要看它的前几项,更要依据数列的构成规律,多观察分析,真正找到数列的内在规律,由数列前几项写出其通项公式,没有通用的方法可循.
    再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点:
    (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数的表达式.
    (2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项,如果是的话,是第几项.
    (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.
    如2的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就没有通项公式.
    (4)有的数列的通项公式,形式上不一定是的,正如举例中的:
    (5)有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.
    4.数列的图象
    对于数列4,5,6,7,8,9,10每一项的序号与这一项有下面的对应关系:
    序号:1234567
    项:45678910
    这就是说,上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此,从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数,它的自变量只能取正整数.
    由于数列的项是函数值,序号是自变量,数列的通项公式也就是相应函数和解析式.
    数列是一种特殊的函数,数列是可以用图象直观地表示的.
    数列用图象来表示,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,描点画图来表示一个数列,在画图时,为方便起见,在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同,从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况,但不精确.
    把数列与函数比较,数列是特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合,其图象是无限个或有限个孤立的点.
    5.递推数列
    一堆钢管,共堆放了七层,自上而下各层的钢管数构成一个数列:4,5,6,7,8,9,10.①
    数列①还可以用如下方法给出:自上而下第一层的钢管数是4,以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1