证明三角平分线判定方法


    三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。下面小编给大家带来证明三角平分线判定方法，希望能帮助到大家!
    证明三角平分线判定方法
    1.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
    若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：CD=BD
    ∵∠DCA=∠DBA
    ∠CAD=∠BAD
    AD=AD
    ∴△ACD≌△ABD
    ∴CD=BD
    2.三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例
    在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC。
    证明：
    如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF。
    S△ABD：S△ACD=BD/CD
    又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
    所以BD/CD=AB/AC。
    证明三角平分线判定定理
    1.角平分线可以得到两个相等的角。
    2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
    3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
    4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
    

  1.     以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
        

  2.     分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
        

  3.     作射线OP。
        

    射线OP即为所求。
    证明：连接PM,PN在△POM和△PON中
    ∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
    ∴△POM≌△PON(SSS)∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线
    当然，角平分线的作法有很多种。
    下面再提供一种尺规作图的方法供参考：
    

  1.     在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
        

  2.     连接CN与DM，相交于P;3.作射线OP。
        

  3.     射线OP即为所求。
        

    证明三角平分线判定性质
    三角形中的性质。
    

  1.     三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
        

  2.      三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
        

  3.     若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
        

  4.     证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
        ∵CE∥AD
        ∴△BDA∽△BCE
        ∴BA/BE=BD/BC
        ∴ BA/AE=BD/DC
        ∵CE∥AD
        ∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
        ∵AD平分∠BAC
        ∴∠BAD=∠CAD∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E即∠ACE=∠E∴ AE=AC又
        ∵BA/AE=BD/DC∴BA/AC=BD/DC
        以上均为阶段知识点及证法，详见“角平分线定理”“三角形角平分线”。
        

    
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